教科書の式の不連続を、直さずにテストで固定する

開発中の学習ツールに、山の稜線のような障害物を電波が回り込む「ナイフエッジ回折」を体感する教材があります。回折損失は教科書どおりの区分近似式で計算しているのですが、この式を忠実に実装すると、損失曲線の一箇所に約0.8 dBの小さな段差が残ります。写し間違いを疑って係数を突き合わせても、実装は式のとおりです。段差は、式そのものが持っている性質でした。滑らかにつなぎ直したくなるところですが、このツールでは式を歪めない側を選び、段差を既知の性質としてテストで固定しました。この記事はその線引きの記録です。どの境界は直し、どの境界は直さず、直さないという判断をどうやってコードに残したのかを、実装のコードで紹介します。

Lee近似の区分構成と境界の段差

対象のツールは、一陸技と二陸技(第一級・第二級陸上無線技術士)の受験者向けの学習補助アプリです。ナイフエッジ回折の教材では、障害物が見通し線からどれだけ突き出しているかをスライダーで動かし、回折損失の変化を観察します。計算は2段構えで、まず突出量h、距離、周波数から無次元のフレネルパラメータvを求め、次にvを損失dBへ変換します。この後段の変換に、仕様はLee近似と呼ばれる区分近似式を採用しています。

実装は仕様の式の逐語です。vの範囲ごとに5つの式を切り替えます。

export function knifeEdgeLoss(v: number): number {
  let lossDb: number;
  if (v <= -1) {
    return 0;
  } else if (v <= 0) {
    lossDb = -20 * Math.log10(0.5 - 0.62 * v);
  } else if (v <= 1) {
    lossDb = -20 * Math.log10(0.5 * Math.exp(-0.95 * v));
  } else if (v <= 2.4) {
    lossDb = -20 * Math.log10(0.4 - Math.sqrt(0.1184 - (0.38 - 0.1 * v) ** 2));
  } else {
    lossDb = -20 * Math.log10(0.225 / v);
  }
  return Math.max(0, lossDb);
}

区分近似ですから、式が切り替わる境界で値は完全には一致しません。現行の実装で境界の両側を突き合わせると、v=0は両側とも6.0206 dBで厳密に一致し、v=1は14.272 dBと13.979 dBで0.293 dBの差、そしてv=2.4は21.343 dBと20.561 dBで0.782 dBの差になります。このアプリの演習は数値解答を「±0.5 dBまたは±1%の大きい方」の既定許容で判定するので、その物差しに載せると、0.293 dBは内側、0.782 dBは外側です。ここだけは、誤差と呼んで流せる大きさではありません。

直した境界と直さなかった境界

境界に手を入れた場所も、実はあります。生のLee式は、vが−1から約−0.806の範囲で負の損失、つまり最大0.98 dBほどの増強を返します。仕様の共通規約は「dBの損失は正値で表す」なので、末尾のmax(0, lossDb)で0へクリップしています。このクリップの結果として、損失0の区分と接するv=−1の境界は連続になりました。滑らかにしたくて変形したのではなく、符号の規約に従ったら連続が付いてきた、という順番です。

であれば、v=2.4も同じように調整できないでしょうか。方法自体はあります。実際、最後の区分の定数0.225を約0.206へ変えれば境界はぴたりとつながる、というところまで計算しました。

つないだ後に起きることを考えると、これは直しではありません。定数を変えれば、v>2.4の全域で値が0.78 dBずつ持ち上がり、教科書の式なら約27.6 dBになる山岳回折の条件で、このツールは28.3 dBを表示するようになります。受験者は表示された値を、参考書の計算例や過去問の解答と突き合わせるはずです。そこで食い違う数字を出すツールは、曲線がどれだけ滑らかでも、学習ツールとしては壊れています。ここでの正しさの基準は物理の真値への近さではなく、教科書と同じ手順で計算したときに同じ値が出ることだからです。

二つの境界を分けたものは、変形の根拠が仕様にあるかどうかでした。符号規約という根拠を持つクリップは行い、見た目の連続性しか根拠のない定数調整は行わない。段差は残します。ただし、知らずに残っているのと、知っていて残しているのとでは、コードとしてまるで別物です。この区別を、実行される形で書き残すことにしました。

現状の挙動を仕様として書き取るテスト

characterizationテストは、既存コードの現状の挙動を観測し、それをそのまま期待値としてテストに書き取る手法です。もともとは、仕様の記録が失われたレガシーコードを安全に変更するための道具として知られています。挙動の正しさを保証するのではなく、挙動が変わったことを検出する網を張る。今回はこれを少し逆向きに使いました。挙動は完全に把握できていて、しかも一見バグに見える。その挙動が将来「直されない」ように固定します。

it("v=2.4 境界: Lee 近似固有の 0.783 dB 不連続(characterization、仕様書修正提案済み)", () => {
  const EPS = 1e-9;
  const jump = Math.abs(knifeEdgeLoss(2.4 - EPS) - knifeEdgeLoss(2.4 + EPS));
  expect(jump).toBeCloseTo(0.783, 2);
  // 各側の絶対値も固定(式の逐語実装を保証)
  expect(knifeEdgeLoss(2.4)).toBeCloseTo(21.343, 2); // 区分4(v≤2.4)
  expect(knifeEdgeLoss(2.4 + EPS)).toBeCloseTo(20.561, 2); // 区分5
});

固定しているのは段差の大きさだけではありません。境界の両側の絶対値も一緒に固定しています。段差の幅だけを検査すると、両方の区分を同じ量だけずらす「修正」が通り抜けてしまいますが、絶対値まで固定すれば、どちらの式に触れてもテストが落ちます。テスト名には、近似式固有の不連続であることと、仕様書へ追記を提案済みであることを書きました。数か月後の自分や、リファクタリングを任せたAIがこの段差を「修正」したとき、最初に目にする失敗メッセージがそのまま説明になる想定です。

一方、v=−1、0、1の境界には、別のテストで「不連続は0.3 dB未満」という上限だけを掛けています。こちらの境界のずれは受け入れる誤差であって、値そのものに意味がないからです。意図して残す段差は値まで固定し、ただの誤差は上限で縛る。同じ境界の検査でも、固定の強さを意図の強さに合わせています。

テストと合わせて、文書も三箇所に置きました。実装のコメントには不連続の位置と大きさを、仕様書には「約0.8 dBの既知の段差を持つ。物理現象として説明せず、近似式固有の性質として表示・テストする」という一文を、教材の試験対策の解説には「近似式の性質であり物理現象ではない」という注記を書いています。グラフの段に気づいた学習者と、コードの段に気づいた開発者では、最初に開く場所が違うからです。

単位ミスを検出するクロステスト

値を固定するテストを並べれば安心か、というと、まだ取りこぼしがあります。ここまでのテストはすべて、損失関数へvを直接渡していました。vそのものの計算、つまりkmからmへの換算やλ=300/fという波長近似をどこかで取り違えていたら、固定した値のテストは全部素通りします。

vを求める関数と、教材の図で使う第1フレネルゾーン半径r1を求める関数は別モジュールにあり、それぞれの内部で単位を換算しています。この2つには、パラメータの取り方によらず成り立つ関係があります。vはhに√(2(d1+d2)/(λd1d2))を掛けた量、r1は√(λd1d2/(d1+d2))なので、hにr1を入れると距離も波長もすべて約分され、vは必ず√2になります。

it("√2 クロステスト(単位混入検出器): h = r1 のとき v = √2", () => {
  for (const [d1, d2, f] of [
    [5, 5, 6000],
    [2, 8, 1000],
    [0.5, 30, 150],
  ]) {
    const r1 = fresnelZoneRadius(1, d1!, d2!, f!);
    expect(fresnelParameter(r1, d1!, d2!, f!)).toBeCloseTo(Math.SQRT2, 9);
  }
});

距離と周波数を変えた3組で、小数9桁の精度で√2を要求しています。片方のモジュールだけが換算を忘れた、2つのモジュールが違うλを使っている、といった食い違いは、この恒等式で露見します。正直に言えば、これ単独では穴が残ります。すべてが約分されるということは、両方のモジュールが同じ取り違えをした場合にも√2が出てしまう、ということだからです。その穴は、半径側の絶対値テスト(f=300 MHz、d1=d2=1 kmで√500=22.3607 mになる)が塞いでいます。絶対値テストが半径を基準へ固定し、クロステストがvを半径へつなぐ。2本を張って初めて、単位ミスの逃げ場がなくなります。

教科書との一致を選んだもう一つの場所

同じ基準で決めた定数が、リポジトリの別の場所にもあります。自由空間伝搬損失の定数には、物理定数から導ける32.4478ではなく、試験の出題慣習に合わせた32.45を使っています。こちらにも、f=1 MHz、d=1 kmで厳密に32.45を返すことを要求する判別テストが付いていて、いつか誰かが厳密光速へ「改良」すれば、テストが落ちてそれが改良ではないことを伝えます。

教科書の値を正とすると決めた以上、教科書の近似が持つ癖は、段差ごと引き受けることになります。その決め事を、コメントの中の口約束ではなく、破れば落ちるテストにしておくのが今回の判断でした。この計算部の上に作っている「wavelane」は、一陸技と二陸技の受験者向けに電波伝搬を可視化する学習ツールで、現在公開準備中です。公開後、損失曲線の小さな段に気づく学習者がどれだけいるのか、先回りして置いた注記はそのとき働くのか。答え合わせはこれからです。