自由空間伝搬損失の計算 — 32.45の式の意味と覚え方

一陸技・二陸技の無線工学Bで必ずと言っていいほど出てくるのが、自由空間伝搬損失の計算です。公式を丸暗記して数字を代入するだけでも解けますが、式の意味が分かっていると、暗記が減るうえに応用問題での間違いが減ります。この記事では、よく使われる実用式の由来と、dB計算を速くするコツを解説します。

自由空間伝搬損失とは

送信アンテナから出た電波は、障害物のない空間（自由空間）でも、距離とともに弱くなります。反射も吸収もないのに弱くなるのは、電波のエネルギーが球面状に広がっていくからです。半径が2倍になれば球の表面積は4倍になり、単位面積あたりのエネルギーは1/4になります。

この「広がりによる薄まり」を、送受信アンテナが等方性（すべての方向に均等）だと仮定して損失として表したのが自由空間伝搬損失です。真数では次の形になります。

Γ = (4πd / λ)²

d は距離、λ は波長です。距離が伸びるほど、また波長が短い（周波数が高い）ほど、損失は大きくなります。

実用式「32.45 + 20log f + 20log d」の由来

試験や実務では、dB表記の実用式が使われます。

L (dB) = 32.45 + 20log₁₀ f (MHz) + 20log₁₀ d (km)

この 32.45 という定数は、魔法の数字ではありません。真数の式 (4πd/λ)² をdBに直し、波長 λ を周波数 f に置き換えて（λ = c/f）、fをMHz、dをkmという実用単位で入れられるように単位換算をまとめた結果が 32.45 です。つまりこの定数には「4πと光速cと単位換算」が全部畳み込まれています。

単位が変われば定数も変わることに注意してください。fをGHz、dをkmで入れる流儀では定数は 92.45 になります。式を覚えるときは「定数・fの単位・dの単位」を必ずセットで覚えます。

例題: 1000 MHz・10 km

実際に計算してみます。f = 1000 MHz、d = 10 km のとき:

• 20log₁₀(1000) = 20 × 3 = 60
• 20log₁₀(10) = 20 × 1 = 20
• L = 32.45 + 60 + 20 = 112.45 ≒ 112.5 dB

logの計算が10の整数乗になるように出題されることが多いので、log₁₀2 ≒ 0.3 と log₁₀3 ≒ 0.48 を覚えておけば、たいていの数値は暗算圏内です。

「距離2倍で6dB」の感覚を持つ

式の中の 20log という形から、便利な感覚が導けます。

• 距離が2倍 → 損失 +6dB（20log2 = 20×0.3）
• 距離が10倍 → 損失 +20dB
• 周波数が2倍 → 損失 +6dB

この感覚があると、「dを3kmから6kmにしたら損失はいくつ増えるか」のような設問に、式を最初から計算し直さずに答えられます。逆に、受信電力の計算で「6dB下がったら電力は1/4」（3dBで半分、6dBで1/4）という換算も頻出です。

注意: 「自由空間」は仮定である

この式は、障害物も大地の反射もない理想空間の話です。実際の伝搬では、大地反射波との干渉（2波モデル）、山などによる回折（ナイフエッジ）、降雨減衰などが加わり、自由空間損失は「最も条件が良い場合の下限」として使われます。試験でも、自由空間損失を求めさせたうえで、反射や回折の補正を加える問題へ発展していきます。

動かして理解する

「距離を対数軸にすると損失のカーブが直線になる」——文章で読むより、スライダーを動かして見るほうが一瞬で伝わります。

BenriWorksの学習アプリ「wavelane」では、周波数と距離をスライダーで動かすと、グラフ・途中式・損失値が同時に変わる形で自由空間伝搬損失を体験できます。この記事の例題（1000 MHz・10 km → 112.5 dB）もそのまま再現できます。2波モデルやナイフエッジ回折など、発展分野の教材と36パターンの計算演習も収録しています。

まとめ

• 自由空間損失は「電波が球面状に広がって薄まる」ことのdB表現。真数では (4πd/λ)²
• 32.45 は単位換算まで畳み込んだ定数。定数と単位（MHz・km）はセットで覚える
• 距離2倍で+6dB、10倍で+20dB。dB暗算の最小セット（3dB=2倍）を身につける
• 実環境では反射・回折が加わる。自由空間は「理想条件の下限」
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